단면2차모멘트, 평행축의 정리, 단면극2차모멘트, 단면상승모멘트

by GoldenRain 2024. 7. 11. 21:37

항상 기억해야 할 것은 모든 재료는 변형이 발생하기 때문에 재료역학은 재료의 변형과 응력을 다룬다는 것입니다.

보와 같이 휨응력이 발생하는 부재는 단면의 성능을 평가하기 위해 단면2차모멘트가 필요하다는 것을 살펴보았습니다. 여기서는 단면2차모멘트와 관련된 단면극2차모멘트, 단면상승모멘트를 살펴보겠습니다. 이 개념들은 단면의 주축을 판단하기 위해 필요한 것들입니다.

▶ 보의 처짐곡선/ 처짐각/ 휨응력도와 단면2차모멘트

단면2차모멘트

일반적인 상황을 표현하기 위해 다음과 같이 불규칙한 단면으로 만들어진 부재가 있다고 가정해보겠습니다. 여기서 도심을 G라고 하고 도심을 원점으로 한 2차원 그래프를 그리면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

도심을 구하는데 유용한 개념이 단면1차 모멘트입니다. 위 그림에서 미소 단면 dA와 거리의 곱을 적분한 것이 단면1차모멘트인데, 단면1차 모멘트는 도심을 구할 수 있다는 점에서 중요한 개념입니다.

▶ 단면정수 - 단면1차모멘트와 도심

단면2차모멘트는 미소 단면 dA와 거리의 제곱을 적분한 것으로 각각의 축에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

X축 방향의 단면2차모멘트는 미소단면에서 X축과의 거리의 제곱을 곱한 것이기 때문에 y의 제곱을 적분한 것이 됩니다.

따라서 단면2차모멘트의 단위는 길이의 4제곱으로, mm²이 됩니다. 또한 단면2차모멘트는 제곱을 적분한 값이기 때문에 항상 양수값을 나타내게 됩니다.

보는 일반적으로 4각형 단면의 부재를 많이 쓰니까 다음 그림과 같은 4각형 단면의 x축에 대한 단면2차모멘트를 구해보겠습니다.

공식을 적용해서 풀면 다음과 같이 됩니다.

직사각형 단면의 단면2차모멘트는 많이 사용하는 부재이니 기억하는 편이 좋을 것 같습니다.

대표적인 단면의 단면2차모멘트값은 다음과 같습니다.

평행축의 정리

위에서는 도심을 지나는 축에 대하여 단면2차모멘트를 구했습니다. 그런데 만일 다음 그림과 같이 단면2차모멘트를 구하고자 하는 축이 도심이 아니라 도심에서 Xo, Yo만큼 평행하게 떨어져 있다면 단면2차모멘트는 어떻게 될까요?

새로운 XY 축을 기준으로 해서 단면2차모멘트를 구하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 이 때 축으로부터의 거리는 Xo, Yo만큼 떨어져 있으므로 이 값을 대입하면 됩니다.

여기서 도심주변의 단면1차모멘트 Sx와 Sy는 값이 0이기 때문에 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있습니다.

이처럼 좌표축이 도심으로부터 떨어져 있을 경우 단면2차모멘트값은 도심 주변의 단면2차모멘트값과, 도심으로부터 떨어진 직교좌표계의 거리의 제곱과 단면적과의 곱을 더하는 식으로 계산할 수 있습니다. 이것을 평행축의 정리하고 합니다. 기준이 되는 좌표축이 단면의 도심에서 멀리 떨어질수록 단면2차모멘트값을 커지고 평행축의 정리에 따라 증가한다는 것을 알 수 있습니다.