단면정수 - 단면1차모멘트와 도심

구조부재는 다양한 형상으로 사용될 수 있습니다. 대들보처럼 직사각형단면으로 된 단순한 형상도 있지만, H-형강처럼 복잡한 단면이 사용되기도 합니다. 따라서 단면을 형상을 고려할 필요가 있습니다. 여기서는 단면1차모멘트와 도심에 대해 살펴보겠습니다.

 

단면1차모멘트

단면의 성질을 고려할 때도 중요한 것이 모멘트입니다. 모멘트는 물체를 회전시키려고 하는 힘을 말하고, 힘의 크기에 회전의 중심으로부터 힘이 작용하는 작용선까지의 수직거리를 곱해서 계산합니다. 구조부재의 단면에서도 이 모멘트를 고려해보겠습니다.

 

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▶ 우력과 모멘트

 

우리에게 익숙한 X-Y좌표계를 놓고 시작하겠습니다. 다음 그림과 같이 (X, Y) 지점에 어떤 물체의 미소단면적 dA가 있다고 할 때, 단면1차모멘트는 미소단면적 dA에 X축으로부터의 거리 Y를 곱한 값의 전단면적에 대한 합계와 미소단면적 dA에 Y축으로부터의 거리 X를 곱한 값의 전단면적에 대한 합계로 정의됩니다.

 

 

이것을 식으로 나타내면 적분식을 이용해서 다음과 같이 나타냅니다.

 

 

다음 그림과 같이 장방형단면의 X축 및 Y축에 대한 단면1차모멘트를 구해보겠습니다.

 

 

위 그림에서 미소단면의 면적은 다음과 같이 나타낼 수 있고, 따라서 X축에 대한 단면1차모멘트는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

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도심(Centroid)

여기서 한 점을 지나는 좌표축에 대해 단면1차모멘트값이 0이 될 때, 그 점을 단면의 도심이라고 합니다. 면적의 기하학적인 중심을 나타내는 점입니다. 물체가 균질(homogeneous)해서 일정한 밀도를 가지고 있다면 도심의 무게중심(center of gravity)과 일치하게 됩니다.

어떤 단면이라도 도심은 한 개만 존재합니다. 다음 그림은 도심을 지나는 좌표축을 다시 나타낸 그림입니다. 

 

 

X-Y 좌표계의 도심 G(X0, Y0)를 지나는 직교좌표계 x-y를 그린 것인데, 여기서 x축과 y축을 기준으로 단면1차모멘트를 구하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

여기서 도심의 정의에 따라 Sx = 0, Sy=0이므로 위 식은 다음과 같이 됩니다.

 

그럼 앞에서 구해본 직사각형 단면의 도심은 어떻게 계산될까요?

 

 

이처럼 선대칭이나 점대칭 형상으로 된 도형은 그 중심이 도심이 됩니다. 이것은 도심을 중심으로 점대칭이나 선대칭이 서로 상쇄되면서 단면1차모멘트의 합이 0이 되기 때문입니다.

 

다음 원형 단면의 단면1차모멘트와 도심은 어떻게 될까요?

 

원은 중심점을 기준으로 점대칭되는 형상이므로 도심이 원의 중심이라는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 이것을 식으로 풀면 약간 복잡해집니다. 

 

 

 

여러 개의 단면이 합쳐져서 구성되는 단면의 집합일 경우에 단면1차모멘트는 각 단면에 대해 좌표축으로부터 그 단면의 도심까지의 거리(Xi 또는 Yi)와 그 단면적(Ai)의 합을 구해서 그 대수합으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

따라서 ,X축 및 Y축으로부터 그 단면의 도심까지의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

 

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