모멘트와 단면계수

점이나 회전축을 중심으로 물체를 회전시키려는 힘의 작용을 모멘트라고 합니다. 일상적으로는 나사를 돌리려고 스패너에 힘을 가할 때 나사에 발생하는 힘을 생각하시면 됩니다. 그런데 건축물을 구성하는 부재에도 이런 모멘트가 작용을 하게 됩니다.

 

 

■ (관련 글) 우력과 모멘트

 

기둥 사이를 가로질러 배치하는 보는 중력 방향에 직각으로 놓이기 때문에 모멘트가 발생합니다. 

보에서 발생하는 응력에 대해서는 휨응력에서 다루었으니 관련 글을 참고하시기 바랍니다. 여기서는 모멘트의 크기에 대해 생각해보겠습니다.

 

▶ 응력이란?

▶ 응력의 종류 ▶ 인장응력, ▶ 압축응력, ▶ 휨응력, ▶ 전단응력

 

모멘트의 크기

모멘트의 크기는 힘×회전축으로부터의 거리로 계산합니다. 따라서 모멘트는 작용하는 힘이 크거나 회전축에서의 거리가 멀수록 모멘트가  커지게 됩니다. 아래 그림에서 시소를 타고 있는 두 사람때문에 발생하는 모멘트를 계산해보겠습니다.

 

 

중심축에서 왼쪽에 앉아 있는 사람의 무게(2W)때문에 발생하는 모멘트는

힘 × 회전축으로부터의 거리 =  2W × L = 2WL입니다.

 

마찬가지로 오른쪽에 앉아 있는 사람의 무게(W)때문에 발생하는 모멘트도

힘 × 회전축으로부터의 거리 =  W × 2L = 2WL 입니다.

무게가 가볍기는 하지만 왼쪽에 앉아 있는 사람보다 두 배나 멀리 떨어져 앉아 있기 때문에 모멘트가 같아지게 됩니다.

 

이렇게 양쪽의 모멘트가 평행상태를 이루면 시소는 움직이지 않고 가만히 있게 되겠죠.

 

보에서 발생하는 모멘트

이제 보에서 발생하는 모멘트의 크기를 계산해보겠습니다. 위 그림에 있는 보가 모멘트를 받아 변형이 되어서 원래 육면체였던 미세한 단면이 이렇게 사다리꼴 모양으로 변형되었다고 가정합니다. 보의 폭을 B라고 하겠습니다.

 

모멘트를 계산하기 위해 그림을 입면으로 바꾸어서 부재 단면의 응력분포를 나타내면 다음과 같이 됩니다. 

 

 

보의 중립축에서 윗쪽은 압축을 받아서 수축하고, 아래쪽은 인장을 받아서 늘어나는 식입니다. 압축이 Compression이니 C로 나타내고 인장이 Tension이니 T로 나타냅니다.

 

응력 분포를 보면 중립축에서 0이고 양쪽 단부가 최대가 됩니다. 응력은 σ로 나타내는데 위아래 단면의 최대 응력은 각각압축에는 C, 인장에는 T를 붙여서 나타냅니다. 

 

보에 작용하는 모멘트를 계산하려면 삼각형형태로 작용하는 힘의 합력이 C와 T 지점의 한 점에 작용한다고 보고 계산을 하게 됩니다. 따라서 C와 T는 삼각형의 면적으로 계산할 수 있습니다. 보의 폭 B까지 감안해서 계산하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

양쪽 삼각형의 면적이 동일하기 때문에 결국 C와 T의 크기는 같습니다.

이 C와 T가 보 단면을 돌리는 식으로 작용하니까 모멘트의 크기를 계산하려면 중립축과의 거리(j)를 곱해서 계산합니다. 그래서 보에서 발생하는 모멘트는

이 식에서 보면 보의 형상과 관련된 부분을 묶어서(다시 말해서 B나 D가 포함된 식을 하나로 묶어서) 나타낼 수 있습니다. 

이 Z를 단면계수라고 합니다. 이 단면계수를 대입해서 모멘트를 풀어보면 다음과 같이 됩니다.

 

즉 모멘트는 단면계수와 응력의 곱으로 나타내집니다. 거꾸로 예기하면 단면계수가 크면 클수록 모멘트에 저항하는 능력이 커진다는 것이죠. 단면계수는 폭에 비례하지만 높이(D; Depth)에는 제곱에 비례합니다. 그러니까 보의 성능을 좋게하려면 폭을 키우는 것보다는 높이(D)를 키우는 것이 유리합니다.

 

▶ 보 경간과 춤

▶ 보의 처짐과 사용성

 

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